Cos'è funzione iniettiva?

Funzione Iniettiva (o Funzione Uno-a-Uno)

Una funzione si dice iniettiva (o uno-a-uno) se a elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio. In altre parole, una funzione f: A → B è iniettiva se per ogni x₁, x₂ ∈ A, con x₁ ≠ x₂, si ha f(x₁) ≠ f(x₂).

Equivalentemente, si può affermare che una funzione è iniettiva se f(x₁) = f(x₂) implica x₁ = x₂. Questa formulazione è spesso più utile per dimostrare l'iniettività di una funzione.

Formalmente:

Una funzione f: A → B è iniettiva se:

∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

oppure, equivalentemente:

∀ x₁, x₂ ∈ A, f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂

Esempio:

La funzione f(x) = 2x + 1 è iniettiva perché se f(x₁) = f(x₂), allora 2x₁ + 1 = 2x₂ + 1, da cui 2x₁ = 2x₂ e quindi x₁ = x₂.

Visualizzazione Grafica:

Graficamente, una funzione è iniettiva se ogni retta orizzontale interseca il suo grafico al massimo in un punto. Questo è noto come il test della retta orizzontale.

Importanza e Applicazioni:

• Invertibilità: Una funzione è invertibile se e solo se è sia iniettiva che suriettiva (biettiva). L'iniettività è una condizione necessaria per l'esistenza di una funzione inversa.
• Informatica: Le funzioni iniettive sono importanti in crittografia e in hash, dove è fondamentale che elementi diversi abbiano rappresentazioni diverse.
• Matematica Discreta: In combinatoria, le funzioni iniettive sono usate per contare il numero di possibili assegnamenti univoci tra due insiemi.
• Basi di dati: Le chiavi primarie nei database relazionali devono essere iniettive per garantire l'identificazione univoca dei record.

Distinzione con altre Proprietà:

• Funzione Suriettiva: Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è l'immagine di almeno un elemento del dominio. Non è necessario che sia una corrispondenza uno-a-uno.
• Funzione Biettiva: Una funzione è biettiva se è sia iniettiva che suriettiva. Questo significa che esiste una corrispondenza uno-a-uno tra il dominio e il codominio.